Четвертая Столичная олимпиада МФТИ - 10 класс.
Начало. Теория. Олимпиады. Лаборатория. Архив. Полезные книжки.	Задания: Ф1. Тело с плотностью 0.8 г/см³ погружено на 1 м под поверхность воды и отпущено. На какую максимальную высоту над поверхностью оно поднимется? Трением тела о воду и воздух пренебречь. Ф2. В системе, показанной на рисунке, массы тел М₁, М₂ и M₃, нить невесомая, нерастяжимая, блоки легкие, трение в блоках отсутствует.В начальный момент тела неподвижны. Найдите ускорение груза M₃. ФЗ. Идеальному одноатомному газу подвели количество теплоты Q=40 кДж в процессе, при котором P/V = const (Р — давление газа, V— его объем). Найдите работу, совершенную газом. Ф4. Сложный агрегат состоит из двух тепловых двигателей, имеющих КПД n₁ = 60% и n₂ = 40%, Второй двигатель не имеет собственного источника тепла, но ему передается все тепло, выделяемое первым двигателем. Определить КПД агрегата. М1. В какое наименьшее количество цветов нужно раскрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, разность между которыми равна 3, 4 или 6, были разного цвета? М2. Окружность S, вписанная в треугольник AВС, касается стороны АС в точке К. Докажите, что оба центра окружностей, одна из которых вписана в треугольник АВК, а вторая - в треугольник СВК, не могут одновременно лежать на S. МЗ. Можно ли некоторую четверку подряд идущих натуральных чисел разбить на две пары так, чтобы сумма двух чисел - произведений чисел в этих парах, была точным квадратом? М4. На плоскости даны 11 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Два игрока по очереди проводят по одному отрезку с концами в этих точках (из каждой точки может выходить произвольное количество отрезков, но каждые две точки можно соединять только один раз). Выигрывает тот игрок, после чьего хода из каждой точки выходит хотя бы один отрезок (при достижении такой ситуации игра заканчивается). Кто может обеспечить себе выигрыш в этой игре - тот, кто начинает, или его соперник?

Четвертая Столичная олимпиада МФТИ - 10 класс.

Задания:

Ф1. Тело с плотностью 0.8 г/см³ погружено на 1 м под поверхность воды и отпущено. На какую максимальную высоту над поверхностью оно поднимется? Трением тела о воду и воздух пренебречь.

Ф2. В системе, показанной на рисунке, массы тел М₁, М₂ и M₃, нить невесомая, нерастяжимая, блоки легкие, трение в блоках отсутствует.В начальный момент тела неподвижны. Найдите ускорение груза M₃.

ФЗ. Идеальному одноатомному газу подвели количество теплоты Q=40 кДж в процессе, при котором P/V = const (Р — давление газа, V— его объем). Найдите работу, совершенную газом.

Ф4. Сложный агрегат состоит из двух тепловых двигателей, имеющих КПД n₁ = 60% и n₂ = 40%, Второй двигатель не имеет собственного источника тепла, но ему передается все тепло, выделяемое первым двигателем. Определить КПД агрегата.

М1. В какое наименьшее количество цветов нужно раскрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, разность между которыми равна 3, 4 или 6, были разного цвета?

М2. Окружность S, вписанная в треугольник AВС, касается стороны АС в точке К. Докажите, что оба центра окружностей, одна из которых вписана в треугольник АВК, а вторая - в треугольник СВК, не могут одновременно лежать на S.

МЗ. Можно ли некоторую четверку подряд идущих натуральных чисел разбить на две пары так, чтобы сумма двух чисел - произведений чисел в этих парах, была точным квадратом?

М4. На плоскости даны 11 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Два игрока по очереди проводят по одному отрезку с концами в этих точках (из каждой точки может выходить произвольное количество отрезков, но каждые две точки можно соединять только один раз). Выигрывает тот игрок, после чьего хода из каждой точки выходит хотя бы один отрезок (при достижении такой ситуации игра заканчивается). Кто может обеспечить себе выигрыш в этой игре - тот, кто начинает, или его соперник?