10 класс
Начало. Теория. Задачник. Лаборатория. Архив. Полезные книжки. 9 класс. УСЛОВИЯ.	Решения задач (1-9). 1. Известно, что моль любого вещества содержит одно и то же число молекул - число Авогадро Nа=6·1023 1/моль. Тогда массу молекулы можно найти довольно точно: m= M/Na= 0,2/6·1023 =3,3· 10-25 кг. Расстояние между центрами молекул находится очень приближенно. Зная плотность вещества, можно определить объем, занимаемый тем же молем вещества: V= M/р= 200/0,8= 250 см³ = 2,5·10^-4 м³. Теперь найдем объем, приходящийся на одну молекулу: V1= V/Na = 2,5·10^-4/6·1023= 0,4·10^-27 м³. Молекулы жидкости плотно прижаты друг к другу, объем молекулы можно принять равным объему, который приходится на одну молекулу. Если теперь принять, что молекула плотно заполняет маленький кубик объема V1 (не зная "устройства" молекул вещества мы не можем сделать разумного предположения о взаимном расположении молекул, а в таком случае разумно выбрать модель, которую легко рассчитать - вот мы и выбрали кубики…), то ребро кубика (а значит и расстояние между центрами молекул) найти совсем легко: d= (V1)1/3 = 8·10^-10 м (более точный расчет этой величины просто не имеет смысла - выбранная нами для расчета "кубическая" модель довольно произвольна). 2. Пар над лужей можно считать насыщенным, этот пар - довольно разреженный газ и можно пользоваться уравнением состояния идеального газа: P·V=v·R·T = m·R·T/M, отсюда выразим плотность пара r= m/V= M·P/R·T= 0,018·100/8,3·293 = 7,4·10^-4 кг/м³. Для оценки расстояний между соседними молекулами найдем объем, занимаемый молем пара при заданных условиях, затем - объем, приходящийся на одну молекулу, а дальше снова поговорим о геометрических свойствах куба: V1=V/Na = R·T/P·Na = 8,3·293/100·6·1023 = 4·10^-23 м³. Расстояние оценим как длину ребра куба (расстояние между центрами прилегающих друг к другу кубов): d= (V1)^1/3 = 4·10^-8 м. Видно, что это расстояние на два порядка превышает размеры молекул - газ и в самом деле довольно разреженный. 3. В условии задачи написано, что концентрация молекул осталась прежней (число молекул и объем сосуда не изменились), тогда число ударов возросло во столько же раз, во сколько раз увеличились скорости молекул (строго говоря, для расчета числа ударов молекул о стенки нужна не среднеквадратическая скорость, а "среднемодульная", но это несущественно - если при возрастании температуры увеличилась в два раза среднеквадратическая скорость, то во столько же раз увеличилась и любая другая скорость молекул - среднемодульная, "наиболее вероятная" по величине и т.п., но эти тонкости школьнику знать не обязательно, разве что очень углубленному…). Итак, удары станут в два раза чаще. Давление газа в сосуде возрастет в четыре раза - при таком изменении среднеквадратической скорости молекул температура должна возрасти именно в четыре раза, а объем сосуда и количество газа неизменны по условию. 4. Если в комнате находится обычный воздух, а не какой-то экзотический газ, который при этих условиях близок к ожижению, мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа (за неимением лучшего, но это вполне разумная модель для заданных условий). Число всех молекул газа N= Na·P·V/R·T = 6·1023·105·(740/760) ·200/8,3·288 = 5·1027. В основном это азот и кислород, молекулы этих газов двухатомные - средняя энергия таких молекул E_ср = 5k·T/2, суммарная кинетическая энергия (учитывающая поступательное и вращательное движение молекул) U= N·E_ср = (Na·P·V/R·T)·Eср=2,5P·V= 5·107 Дж. При вычислениях мы учли, что k·Na = R. Может показаться, что при вычислениях мы почти ничем не пренебрегли - разве что некоторой толикой водяного пара, углекислоты - при энергетических расчетах нужно было учесть, что это не двухатомные, а многоатомные молекулы и их средняя энергия немного больше, но дело вовсе не в этом. Тут нужно учесть "человеческий фактор" - жизненный опыт показывает, что в таких аудиториях всегда полно народа! Пусть, например, в этой комнате сидит, стоит и бегает 20 человек по 50 кг (в среднем). Тогда это лишняя тысяча килограммов. В основном человек состоит из воды, моль воды имеет массу 18 грамм, тогда дополнительное число молекул N1= 6·1023·1000/0,018=3·1028 молекул - почти на порядок больше, чем молекул газа, а мы еще не учли столы, стулья и доску! Из этого поучительного примера видно, что условие задачи следует читать очень внимательно (может быть автор задачи сам "прокололся" и не подумал о людях) - напишите в решении задачи, что Вы считали только молекулы ГАЗОВ - и придраться к Вашему решению будет намного сложнее. 5. Это совсем простая задача. Воспользуемся готовой формулой из решения задачи 2: r= M·P/R·T, отсюда T= M·P/R·r = 0,028·0,1·105/8,3·0,1 = 337К 6. Найдем давление, которое создавала бы в сосуде порция водяного пара массы 10 грамм при этих условиях: P= m·R·T/M·V = 0,01·8,3·373/0,018·0,01 = 1,7·10⁵ Па. Но это еще не ответ - мы хорошо знаем, что давление насыщенных паров воды при этой температуре составляет 1 атм=10⁵ Па, а это значит, что полученный нами ответ не подходит - давление пара составит только 10⁵ Па, просто не вся вода испарится! 7. Это совсем простая задача. Температура в первой части процесса (при изобарическом расширении газа) увеличивается в V2/V1 = 3 раза и достигает Т2=600К, затем она еще возрастает в Р2/Р1 = 4 раза и максимальная температура в конце этой части процесса составляет Т3=2400К. Для нахождения подведенного тепла воспользуемся уравнением 1 начала термодинамики: Q = A + "дельта"U. Работу газ совершает на первом этапе процесса, а при изохорическом нагревании работа газа равна нулю. Итак, работа газа A= P1· (V2 - V1)= 40 Дж. Приращение внутренней энергии газа "дельта"U = 1,5vRT3 - 1,5vRT1 = 1,5· (P2·V2 - P1·V1) = 1,5·220 = 330 Дж. Итак, подведенное во всем процессе тепло Q= 370 Дж. 8. Максимальное давление газа в этом процессе на одну "клетку" выше Р1 и составляет Рв=0,6 атм (индекс _в_ отмечает параметры газа, соответствующие вершине графика). Работу газа можно найти по площади под графиком давления, так сказать, "по клеточкам", только сначала надо вычислить работу, соответствующую этой клеточке: А₁= 10000 Па·0,01 м³ = 100 Дж. Площадь полукруга, вписанного в "двухклеточный" прямоугольник меньше площади прямоугольника: A_л=2A₁·п/4, под этим полукругом находится прямоугольник из 10 клеток, полное количество клеток 10+2·п/4 = 10 + п/2 = 11,57 клеток. Итак, работа А = 1157 Дж. А вот то, что газ - азот, в решении не использовалось. 9. Используем решение предыдущей задачи - работа газа на половине процесса из предыдущей задачи в точности равна половине вычисленной там работы. Найдем приращение внутренней энергии порции газа (учитывая, что азот - двухатомный газ): "дельта"U = 2,5v·R·Tв - 2,5v·R·T1 = 2,5·(Р_в·V_в - P1·V1) = 2,5·(6·104·0,04 - 5·104·0,03) = 2250 Дж. Подведенное тепло Q = 1157/2 + 2250 =2830 Дж.

10 класс

Решения задач (1-9).

1. Известно, что моль любого вещества содержит одно и то же число молекул - число Авогадро Nа=6·1023 1/моль. Тогда массу молекулы можно найти довольно точно: m= M/Na= 0,2/6·1023 =3,3· 10-25 кг. Расстояние между центрами молекул находится очень приближенно. Зная плотность вещества, можно определить объем, занимаемый тем же молем вещества: V= M/р= 200/0,8= 250 см³ = 2,5·10^-4 м³. Теперь найдем объем, приходящийся на одну молекулу: V1= V/Na = 2,5·10^-4/6·1023= 0,4·10^-27 м³. Молекулы жидкости плотно прижаты друг к другу, объем молекулы можно принять равным объему, который приходится на одну молекулу. Если теперь принять, что молекула плотно заполняет маленький кубик объема V1 (не зная "устройства" молекул вещества мы не можем сделать разумного предположения о взаимном расположении молекул, а в таком случае разумно выбрать модель, которую легко рассчитать - вот мы и выбрали кубики…), то ребро кубика (а значит и расстояние между центрами молекул) найти совсем легко: d= (V1)1/3 = 8·10^-10 м (более точный расчет этой величины просто не имеет смысла - выбранная нами для расчета "кубическая" модель довольно произвольна).

2. Пар над лужей можно считать насыщенным, этот пар - довольно разреженный газ и можно пользоваться уравнением состояния идеального газа: P·V=v·R·T = m·R·T/M, отсюда выразим плотность пара r= m/V= M·P/R·T= 0,018·100/8,3·293 = 7,4·10^-4 кг/м³. Для оценки расстояний между соседними молекулами найдем объем, занимаемый молем пара при заданных условиях, затем - объем, приходящийся на одну молекулу, а дальше снова поговорим о геометрических свойствах куба: V1=V/Na = R·T/P·Na = 8,3·293/100·6·1023 = 4·10^-23 м³. Расстояние оценим как длину ребра куба (расстояние между центрами прилегающих друг к другу кубов): d= (V1)^1/3 = 4·10^-8 м. Видно, что это расстояние на два порядка превышает размеры молекул - газ и в самом деле довольно разреженный.

3. В условии задачи написано, что концентрация молекул осталась прежней (число молекул и объем сосуда не изменились), тогда число ударов возросло во столько же раз, во сколько раз увеличились скорости молекул (строго говоря, для расчета числа ударов молекул о стенки нужна не среднеквадратическая скорость, а "среднемодульная", но это несущественно - если при возрастании температуры увеличилась в два раза среднеквадратическая скорость, то во столько же раз увеличилась и любая другая скорость молекул - среднемодульная, "наиболее вероятная" по величине и т.п., но эти тонкости школьнику знать не обязательно, разве что очень углубленному…). Итак, удары станут в два раза чаще. Давление газа в сосуде возрастет в четыре раза - при таком изменении среднеквадратической скорости молекул температура должна возрасти именно в четыре раза, а объем сосуда и количество газа неизменны по условию.

4. Если в комнате находится обычный воздух, а не какой-то экзотический газ, который при этих условиях близок к ожижению, мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа (за неимением лучшего, но это вполне разумная модель для заданных условий). Число всех молекул газа N= Na·P·V/R·T = 6·1023·105·(740/760) ·200/8,3·288 = 5·1027. В основном это азот и кислород, молекулы этих газов двухатомные - средняя энергия таких молекул E_ср = 5k·T/2, суммарная кинетическая энергия (учитывающая поступательное и вращательное движение молекул) U= N·E_ср = (Na·P·V/R·T)·Eср=2,5P·V= 5·107 Дж. При вычислениях мы учли, что k·Na = R. Может показаться, что при вычислениях мы почти ничем не пренебрегли - разве что некоторой толикой водяного пара, углекислоты - при энергетических расчетах нужно было учесть, что это не двухатомные, а многоатомные молекулы и их средняя энергия немного больше, но дело вовсе не в этом. Тут нужно учесть "человеческий фактор" - жизненный опыт показывает, что в таких аудиториях всегда полно народа! Пусть, например, в этой комнате сидит, стоит и бегает 20 человек по 50 кг (в среднем). Тогда это лишняя тысяча килограммов. В основном человек состоит из воды, моль воды имеет массу 18 грамм, тогда дополнительное число молекул N1= 6·1023·1000/0,018=3·1028 молекул - почти на порядок больше, чем молекул газа, а мы еще не учли столы, стулья и доску! Из этого поучительного примера видно, что условие задачи следует читать очень внимательно (может быть автор задачи сам "прокололся" и не подумал о людях) - напишите в решении задачи, что Вы считали только молекулы ГАЗОВ - и придраться к Вашему решению будет намного сложнее.

5. Это совсем простая задача. Воспользуемся готовой формулой из решения задачи 2: r= M·P/R·T, отсюда T= M·P/R·r = 0,028·0,1·105/8,3·0,1 = 337К

6. Найдем давление, которое создавала бы в сосуде порция водяного пара массы 10 грамм при этих условиях: P= m·R·T/M·V = 0,01·8,3·373/0,018·0,01 = 1,7·10⁵ Па. Но это еще не ответ - мы хорошо знаем, что давление насыщенных паров воды при этой температуре составляет 1 атм=10⁵ Па, а это значит, что полученный нами ответ не подходит - давление пара составит только 10⁵ Па, просто не вся вода испарится!

7. Это совсем простая задача. Температура в первой части процесса (при изобарическом расширении газа) увеличивается в V2/V1 = 3 раза и достигает Т2=600К, затем она еще возрастает в Р2/Р1 = 4 раза и максимальная температура в конце этой части процесса составляет Т3=2400К. Для нахождения подведенного тепла воспользуемся уравнением 1 начала термодинамики: Q = A + "дельта"U. Работу газ совершает на первом этапе процесса, а при изохорическом нагревании работа газа равна нулю. Итак, работа газа A= P1· (V2 - V1)= 40 Дж. Приращение внутренней энергии газа "дельта"U = 1,5vRT3 - 1,5vRT1 = 1,5· (P2·V2 - P1·V1) = 1,5·220 = 330 Дж. Итак, подведенное во всем процессе тепло Q= 370 Дж.

8. Максимальное давление газа в этом процессе на одну "клетку" выше Р1 и составляет Рв=0,6 атм (индекс _в_ отмечает параметры газа, соответствующие вершине графика). Работу газа можно найти по площади под графиком давления, так сказать, "по клеточкам", только сначала надо вычислить работу, соответствующую этой клеточке: А₁= 10000 Па·0,01 м³ = 100 Дж. Площадь полукруга, вписанного в "двухклеточный" прямоугольник меньше площади прямоугольника: A_л=2A₁·п/4, под этим полукругом находится прямоугольник из 10 клеток, полное количество клеток 10+2·п/4 = 10 + п/2 = 11,57 клеток. Итак, работа А = 1157 Дж. А вот то, что газ - азот, в решении не использовалось.

9. Используем решение предыдущей задачи - работа газа на половине процесса из предыдущей задачи в точности равна половине вычисленной там работы. Найдем приращение внутренней энергии порции газа (учитывая, что азот - двухатомный газ): "дельта"U = 2,5v·R·Tв - 2,5v·R·T1 = 2,5·(Р_в·V_в - P1·V1) = 2,5·(6·104·0,04 - 5·104·0,03) = 2250 Дж. Подведенное тепло Q = 1157/2 + 2250 =2830 Дж.