Термодинамика.

Оценка размера молекулы начинается с вопроса о том, что же считать ее размером. Вот если бы она была идеально отполированным кубиком! Однако, она и не кубик, и не шарик и вообще у нее нет четко очерченных границ. Как быть в таких случаях? Начнем издали. Оценим размер куда более знакомого объекта - школьника. Школьников все мы видели, массу среднего школьника примем равной 60 кг (а потом посмотрим - сильно ли влияет этот выбор на результат), плотность школьника - примерно как у воды (вспомним, что стоит как следует вдохнуть воздух, и после этого можно "висеть" в воде, погрузившись почти полностью, а если выдохнуть, то сразу начинаешь тонуть). Теперь можно найти объем школьника: V = 60/1000 = 0,06 куб. метра. Если теперь принять, что школьник имеет форму куба, то его размер находится как корень кубический из объема, т.е. примерно 0,4 м. Вот такой получился размер - меньше роста (размера "в высоту"), больше толщины (размера "в глубину"). Если мы ничего о форме тела школьника не знаем, то лучше этого ответа мы ничего и не найдем (вместо кубика можно было взять шарик, но ответ получился бы примерно тем же, а считать диаметр шара сложнее, чем ребро куба). А вот если у нас есть дополнительная информация (из анализа фотографий, например), то ответ можно сделать куда более разумным. Пусть стало известно, что "ширина" школьника в среднем вчетверо меньше его высоты, а его "глубина" - еще в три раза меньше. Тогда Н*Н/4*Н/12 = V, отсюда Н = 1,5 м (нет смысла делать более точный расчет такой плохо определенной величины, ориентироваться на возможности калькулятора в таком "расчете" просто неграмотно!). Мы получили вполне разумную оценку роста школьника, если бы мы взяли массу порядка 100 кг (и такие школьники бывают!), получим примерно 1,7 - 1,8 м - тоже вполне разумно.

Оценим теперь размер молекулы воды. Найдем объем, который приходится на одну молекулу в "жидкой воде" - в ней молекулы плотнее всего упакованы (сильнее прижаты друг к другу, чем в твердом, "ледяном" состоянии). Моль воды имеет массу 18 г, его объем 18 куб. сантиметров. Тогда на одну молекулу приходится объем V= 18*10^-6/6*10²³ = 3*10^-29 м³. Если у нас нет информации о форме молекулы воды (или - если мы не хотим учитывать сложную форму молекул), проще всего считать ее кубиком и размер найти точно так, как мы только что находили размер кубического школьника: d= (V)^1/3 = 3*10^-10 м. Вот и все! Оценить влияние формы достаточно сложных молекул на результат расчета можно, например, так: посчитать размер молекул бензина, считая молекулы кубиками - а после этого провести эксперимент, посмотрев площадь пятна от капли бензина на поверхности воды. Считая пленку "жидкой поверхностью толщиной в одну молекулу" и зная массу капли, можно сравнить размеры, полученные этими двумя способами. Очень поучительный получится результат!

Использованная идея годится и для совсем другого расчета. Оценим среднее расстояние между соседними молекулами разреженного газа для конкретного случая - азот при давлении 1 атм и температуре 300К. Для этого найдем объем, который в этом газе приходится на одну молекулу, а дальше все получится просто. Итак, возьмем моль азота при этих условиях и найдем объем указанной в условии порции, а затем разделим этот объем на число молекул: V= R*T/P*N_А= 8,3*300/10⁵*6*10²³ = 4*10^-26 м³. Будем считать, что объем разделен на плотно упакованные кубические клетки, а каждая молекула "в среднем" сидит в центре своей клетки. Тогда среднее расстояние между соседними (ближайшими) молекулами равно ребру кубической клетки: d = (V)^1/3 = 3*10^-9 м. Видно, что газ разреженный - при таком соотношении между размерами молекулы и расстоянием между "соседями" сами молекулы занимают довольно малую - примерно 1/1000 часть - объема сосуда. Мы и в этом случае провели расчет очень приближенно - такие не слишком определенные величины, как "среднее расстояние между соседними молекулами" нет смысла считать точнее.

II. Газовые законы и основы МКТ.

Если газ достаточно разреженный (а это - обычное дело, нам чаще всего приходится иметь дело именно с разреженными газами), то практически любой расчет делается при помощи формулы, связывающей давление Р, объем V, количество газа v и температуру Т - это знаменитое "уравнение состояния идеального газа" P*V=v*R*T. Как находить одну из этих величин, если заданы все остальные, это совсем просто и понятно. Но можно сформулировать задачу так, что вопрос будет про какую-нибудь другую величину - например, про плотность газа. Итак, задача: найти плотность азота при температуре 300К и давлении 0,2 атм. Решим ее. Судя по условию газ довольно разреженный (воздух, состоящий на 80% из азота и при существенно большем давлении можно считать разреженным, мы им свободно дышим и легко через него проходим), а если бы это было и не так - других формул у нас все равно нет - используем эту, любимую. В условии не задан объем какой-либо порции газа, зададим его сами. Возьмем 1 кубический метр азота и найдем количество газа в этом объеме. Зная молярную массу азота М= 0,028 кг/моль, найдем массу этой порции - и задача решена. Количество газа v= P*V/R*T, масса m = v*М =М*P*V/R*T, отсюда плотность р= m/V = М*P/R*T = 0,028*20000/(8,3*300) = 0,2 кг/м³. Выбранный нами объем так и не вошел в ответ, выбирали мы его для конкретности - так проще рассуждать, ведь не обязательно сразу сообразишь, что объем может быть каким угодно, а плотность получится одна и та же. Впрочем, можно и сообразить - "взяв объем, скажем, в пять раз больше, мы увеличим ровно в пять раз количество газа, следовательно, какой бы объем ни взять, плотность получится одна и та же". Можно было просто переписать любимую формулу, подставив в нее выражение для количества газа через массу порции газа и его молярную массу: v = m/М, тогда сразу выражается отношение m/V = М*P/R*T, а это и есть плотность. Можно было взять моль газа и найти занимаемый им объем, после чего сразу находится плотность, ведь масса моля известна. В общем, чем проще задача, тем больше равноценных и красивых способов ее решать…

Вот еще одна задача, где вопрос может показаться неожиданным: найти разность давлений воздуха на высоте 20 м и на высоте 50 м над уровнем земли. Температура 0⁰С, давление 1 атм. Решение: если мы найдем плотность воздуха р при этих условиях, то разность давлений "дельта"P = р*g*"дельта"H. Плотность находим так же, как и в предыдущей задаче, сложность только в том, что воздух - это смесь газов. Считая, что он состоит из 80% азота и 20% кислорода, найдем массу моля смеси: m= 0,8*0,028 + 0,2*0,032 = 0,029 кг. Объем, занимаемый этим молем, V= R*T/P и плотность найдется, как отношение этих двух величин. Дальше все понятно, ответ составит примерно 35 Па.

Плотность газа придется рассчитывать и при нахождении, например, подъемной силы воздушного шара заданного объема, при расчете количества воздуха в баллонах акваланга, необходимого для дыхания под водой в течение известного времени, при расчете количества ишаков, необходимых для перевозки заданного количества паров ртути через пустыню и во многих других случаях.

А вот задача посложнее: на столе шумно кипит электрический чайник, потребляемая мощность составляет 1000 Вт, к.п.д. нагревателя 75% (остальное "уходит" в окружающее пространство). Из носика - площадь "носика" 1 см2 - вылетает струя пара, оценить скорость газа в этой струе. Все необходимые данные взять из таблиц.

Решение. Будем считать, что в чайнике над водой образуется насыщенный пар, тогда из носика вылетает струя насыщенного водяного пара при +1000С. Давление такого пара равно 1 атм, легко найти его плотность. Зная мощность, идущую на испарение Р= 0,75*Р₀ = 750 Вт и удельную теплоту парообразования (испарения) r = 2300 кДж/кг, найдем массу пара, образующегося за время t: m= 0,75Р₀*t/r. Плотность мы знаем, тогда легко найти объем этого количества пара. Остальное уже понятно - представим этот объем в виде столбика с площадью поперечного сечения 1 см², длина этого столбика, деленная на t и даст нам скорость вылета (такая длина вылетает за секунду). Итак, скорость вылета струи из носика чайника V = m/(p*S*t) = 0,75P₀*t/(r*p*S*t) = 0,75P₀*R*T/(r*P*M*S) = 750*8,3*373/(2,3*10⁶*1*10⁵*0,018*1*10^-4) = 5 м/с.