Кинематика.
Начало. Теория. Задачник. Лаборатория. Архив. Полезные книжки. термодинамика электричество	I. Кинематика точки. Движение точки (тела) - изменение положения точки относительно других тел со временем. Видно, что относительно различных тел (точнее - относительно различных Систем Отсчета, аккуратнее определение СО мы дадим позже, пока и так понятно) одно и то же движение может выглядеть совершенно по разному. Положение точки в пространстве можно задавать координатами, либо при помощи радиус-вектора, следящего за точкой из начала координат (это совершенно эквивалентные вещи - положение конца вектора можно задать при помлщи его координат). Далее мы определили ПЕРЕМЕЩЕНИЕ точки за интервал времени от t₁ до t₂ и СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ за этот же интервал времени. Еще раз хочу напомнить: перемещение и скорость - ВЕКТОРЫ! Средняя скорость за большой интервал времени очень плохо характеризует особенности движения точки - нужно больше информации. Этого достигают делением интервала времени на множество маленьких интервалов и нахождением средней скорости на каждом из них. На какое число маленьких интервалов следует разделить большой? Казалось бы (и так написано во множестве книг), что чем больше, тем лучше и следует делить все дальше и дальше... Однако, можно ограничиться достаточно малыми интервалами времени (ДМИВ) - за время интервала характер движения не должен заметно меняться: если точка движется по прямой равномерно, то за ЛЮБОЙ интервал времени получится одна и та же средняя скорость, а если неравномерно, то разделение будет зависеть от заданной точности определения скорости. Во всяком случае, стоит лишний раз уменьшить интервал (например, вдвое) - и посмотреть, уложиться ли получившееся отличие в диапазон заданной погрешности. Если уложился, то делить дальше смысла не имеет, если нет - продолжим делить. Удобно рассмотреть пример: пусть при движении по прямой зависимость координаты точки от времени выражается квадратичной функцией x(t) = 10 + 5t² (тут время - в секундах, координата в метрах). Найти скорость в момент времени t₁= 3 с. Найти длительность интервала от указанного момента, при котором погрешность не превысит 0,1%. И еще: попробуйте сделать то же самое при "буквенной" формулировке условия: x(t) = A + Bt², нужно найти скорость V(t₁) при погрешности не хуже n%. Примечание: если Вы умеете вычислять производные, то технически задача нахождения мгновенной скорости упрощается, но не стоит думать, что проблема этим будет исчерпана. На самом деле, есле перейти к "бесконечно малым" интервалам времени в обычном математическом смысле, то возникает резонный вопрос - а в самом ли деле имеет смысл сколь угодно малый интервал времени и как угодно малый вектор перемещения? Многие физические величины вовсе не делимы до бесконечности (заряд, например), делимо ли как угодно пространство и время - дело темное, "выигрыш" в строгости рассуждений при переходе к производным тут просто кажущийся. Впрочем, если Вы не знаете слово "производная", то и думать на эту тему не обязательно... Порешать задачи на тему II. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Часто этот раздел кинематики называют немного иначе - движение тела (иногда говорят про "материальную точку"), брошенного под углом к горизонту. Это название не слишком удачное - попробуйте бросить тело как-то иначе, не под углом к горизонту, а потом расскажите, что у Вас получилось... Но дело не в названиях - раздел этот для девятиклассников не слишком прост, многие задачи требуют изрядной сообразительности и аккуратности в "арифметической" части решения и тему нужно изучать серьезно. Итак, поставим задачу: тело брошено из данной точки под заданным углом a к горизонту, при броске ему сообщили известную скорость V_o. Нужно описать движение тела при некоторых упрощающих предположениях - ускорение свободного падения g одинаково во всех точках, где побывало тело (можно сказать и иначе: "Землю считать плоской!"), сопротивлением воздуха при движении принебречь. Не всегда эти предположения разумны - если бросить тело с очень большой скоростью, оно сможет улететь очень далеко от поверхности Земли, а там притяжение может серьезно ослабеть (а значит, и ускорение свободного падения нельзя будет считать неизменным - таким же, как и у поверзности). Да и сила сопротивления воздуха может играть очень важную роль (помню забавную задачу из одного сборника, там нужно было определить скорость парашютиста перед приземлением, а прыгал он с высоты, кажется, 1 км - и предлагалось сопротивлением воздуха пренебречь! Прашют предназначен как раз для всемерного увеличения сопротивления среды при движении, а если этот парашютист не раскрыл при прыжке парашют, то его следовало бы называть не парашютистом, а как-нибудь иначе...). Чаще всего мы просто вынуждены пренебрегать сопротивлением воздуха, чтобы не усложнять задачу до полной нерешаемости - но отличить случаи, в которых это предположение не слишком искажает ответ от прочих случаев следует уметь! Для решения таких задач удобно применить математический прием - ввести вертикальную и горизонтальную оси координат и рассмотреть как бы два незвисимых простых движения вдоль этих осей. Почему так можно - насколько независимы такие два движения? Что касается вертикального движения, то это вполне разумно: бросим одновременно несколько тел с одинаковыми вертикальными и различными горизонтальными составляющими скорости - все эти тела в любой момент времени окажутся на одной и той же высоте, одновременно достигнут верхней точки полета и одновременно упадут на Землю. А вот движения по горизонтали не совсем уж независимы от вертикальной компоненты скорости - тела брошенные с разными вертикальными и одинаковыми горизонтальными составляющими скорости упадут на Земля не одновременно, а значит, пролетят различные расстояния по горизонтали. Правда, это нетрудно учесть при решении задачи, просто говорить о "независимости движений" нужно аккуратно! Получившиеся движения довольно просты - особенно вдоль горизонтальной оси, это просто раномерное движение с постоянной скоростью V_x=V_ocosa. Движение по вертикали происходит с постоянным ускорением и там все тоже просто. Выберем начало координат в точке броска, направление вертикальной оси вверх будем считать положительным (при этом ускорение вдоль этой оси получиться "минус же"). Тогда кординаты будут изменяться со временем так: X(t)= V_xt=V_otcosa Y(t)= V_otsina-0,5gt² Эти уравнения могут оказаться полезными, например, для такой задачи: камень бросают с высоты 1 м с начальной скоростью 20 м/c под углом 45^o к поверхности. Перелетит ли он стену высоты 20 м, построенную на расстоянии 30 м от точки броска? Выбрав Х=30 м, найдем время полета до стены "по горизонтали" t=30/(20cos45^o)=2,1 с (примерно, точно считать такое время совсем необязательно - впрчем, это будет видно дальше). Теперь посмотрим - какая координата по вертикали будет через такое время и сравним ее с величиной (20-1)=19 м: Y=202,1sin45^o-0,5102,1² = 29-22=7<19 м. Итак, не перелетит, причем нехватка очень большая и точный расчет не был необходим, мы даже ускорение свободного падения разумно округлили! И учет сопротивления воздуха наш результат не изменит, даже еще труднее было бы перебросить стену. А вот при высоте стены 8 м пришлось бы повторить расчет, сделать его поточнее, да и ускорение свободного пришлось бы взять поаккуратнее, а если бы получился ответ типа "перелетит с запасом 5 см", то непременно нужно было бы сказать, что учет сопротивления воздуха тут просто необходим! Еще одно важное замечание относительно полученных уравнений: до момента броска тело не двигалось (или, по крайней мере, двигалось не так), после падения на Землю эти уравнения тоже нельзя применять. Ясно, что нужно дополнительно записать ограничения для t в этих уравнениях: 0<=t<=t_п (значек "<=" означает "больше или равно") Для многих применений полезно исключить из этих двух уравнений время t и получить одно уравнение, которое связывает между собой вертикальные и горизонтальные координаты для каждой из точек, в которых побывает тело при полете - это и есть знаменитое "уравнение траектории". Проще выразить t из первого уравнения и подставить во второе. После понятных преобразований получим: Y=Xtga - gX²/2V_o²cos²a или Y=Xtga - (gX²/2V_o²)(1 + tg²a). Второй вариант формулы удобнее - в нее входит только одна функция угла - "тангенс альфа". Предыдущую задачу при помощи этого уравнения можно было решить совсем просто - подставить вместо Х расстояние до стены 30 м и найти величину Y, после чего опять сравнить ее с величиной 19 м (с учетом того, что начало координат смещено вверх на 1 м - высота точки броска). Впрочем, при ее первом решении мы делали то же, что и при выводе формулы траектории. Но уравнение траектории подходит и для куда более сложных расчетов. Рассмотрим пример: тело бросают из точки, которая находится на высоте Н над поверхностью Земли. Точка, в которую нужно попасть, находится на расстоянии L по горизонтали от точки броска. При какой скорости бросания это возможно? Понятно, что нужно найти минимальное значение скорости, а любое бОльшее значение условию задачи удовлетворяет. Ясно и то, что нам не задан угол бросания и его придется находить самостоятельно - это оптимальный угол, при котором окажется достаточной минимальная скорость бросания. Если бы точки старта и финиша находились на одной высоте (случай Н=0), то выгоднее всего было бы бросать под углом 45^o. А в нашем случае придется думать. Начнем, пожалуй... Итак, запишем уравнение траектории, которая проходит через точку (-H,L): -H = Ltga - (gL²/2V_o²)(1 + tg²a). У нас получилось уравнение, в котором удобно рассматривать в качестве неизвестной величины значение tga (если Вы привыкли обозначать неизвестные одной буквой, можно тангенс обозначить буквой Z, потому как Х и Y уже заняты). Получится (gL²/2V_o²)Z² - LZ + (gL²/2V_o²) - H = 0. Для любого значения скорости можно попытаться найти угол бросания. Сколько таких углов мы получи для каждого заданного значения скорости? Если скорость мала, то корней у нашего уравнения вообще не будет, если скорость достаточно велика, то корни будут и их будет два, как у обычного квадратного уравнения. По мере уменьшения скорости бросания корни уравнения (т. е. подходящие углы) становятся все ближе друг к другу и при определенном (минимально возможном) значнии скорости корни сливаются в один - это и есть оптимальный угол. Для нахождения минимальной скорости вовсе не обязательно решать полученное квадратное уравнение - достаточно исследовать его дискриминант. Посмотрим на дискриминант этого квадратного уравнения: D= L² - 4(gL²/2V_o²)[(gL²/2V_o²) - H]. Приравняем его к нулю (условие на минимальную скорость бросания). Отсяда легко получить значение квадрата минимальной скорости: V_o²= g[(H² + L²)^0,5 - H]. Для Н= 0 получим известное значение V_o²= (gL)^0,5. Кстати, для уравнения с нулевым дискриминантом и оптимальный угол бросания находится легко. И еще - если бы в условии задачи мы задали расстояние L^* между точкой броска и точкой в которую нужно попасть, а не расстояние L по горизонтали, ответ получился бы немного красивее: V_o²= g(L^ - H). Порешать задачи на тему

Кинематика.

I. Кинематика точки.

Движение точки (тела) - изменение положения точки относительно других тел со временем. Видно, что относительно различных тел (точнее - относительно различных Систем Отсчета, аккуратнее определение СО мы дадим позже, пока и так понятно) одно и то же движение может выглядеть совершенно по разному. Положение точки в пространстве можно задавать координатами, либо при помощи радиус-вектора, следящего за точкой из начала координат (это совершенно эквивалентные вещи - положение конца вектора можно задать при помлщи его координат).

Далее мы определили ПЕРЕМЕЩЕНИЕ точки за интервал времени от t₁ до t₂ и СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ за этот же интервал времени. Еще раз хочу напомнить: перемещение и скорость - ВЕКТОРЫ! Средняя скорость за большой интервал времени очень плохо характеризует особенности движения точки - нужно больше информации. Этого достигают делением интервала времени на множество маленьких интервалов и нахождением средней скорости на каждом из них. На какое число маленьких интервалов следует разделить большой? Казалось бы (и так написано во множестве книг), что чем больше, тем лучше и следует делить все дальше и дальше... Однако, можно ограничиться достаточно малыми интервалами времени (ДМИВ) - за время интервала характер движения не должен заметно меняться: если точка движется по прямой равномерно, то за ЛЮБОЙ интервал времени получится одна и та же средняя скорость, а если неравномерно, то разделение будет зависеть от заданной точности определения скорости. Во всяком случае, стоит лишний раз уменьшить интервал (например, вдвое) - и посмотреть, уложиться ли получившееся отличие в диапазон заданной погрешности. Если уложился, то делить дальше смысла не имеет, если нет - продолжим делить. Удобно рассмотреть пример: пусть при движении по прямой зависимость координаты точки от времени выражается квадратичной функцией x(t) = 10 + 5t² (тут время - в секундах, координата в метрах). Найти скорость в момент времени t₁= 3 с. Найти длительность интервала от указанного момента, при котором погрешность не превысит 0,1%. И еще: попробуйте сделать то же самое при "буквенной" формулировке условия: x(t) = A + Bt², нужно найти скорость V(t₁) при погрешности не хуже n%.

Примечание: если Вы умеете вычислять производные, то технически задача нахождения мгновенной скорости упрощается, но не стоит думать, что проблема этим будет исчерпана. На самом деле, есле перейти к "бесконечно малым" интервалам времени в обычном математическом смысле, то возникает резонный вопрос - а в самом ли деле имеет смысл сколь угодно малый интервал времени и как угодно малый вектор перемещения? Многие физические величины вовсе не делимы до бесконечности (заряд, например), делимо ли как угодно пространство и время - дело темное, "выигрыш" в строгости рассуждений при переходе к производным тут просто кажущийся. Впрочем, если Вы не знаете слово "производная", то и думать на эту тему не обязательно...

Порешать задачи на тему

II. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Часто этот раздел кинематики называют немного иначе - движение тела (иногда говорят про "материальную точку"), брошенного под углом к горизонту. Это название не слишком удачное - попробуйте бросить тело как-то иначе, не под углом к горизонту, а потом расскажите, что у Вас получилось... Но дело не в названиях - раздел этот для девятиклассников не слишком прост, многие задачи требуют изрядной сообразительности и аккуратности в "арифметической" части решения и тему нужно изучать серьезно. Итак, поставим задачу: тело брошено из данной точки под заданным углом a к горизонту, при броске ему сообщили известную скорость V_o. Нужно описать движение тела при некоторых упрощающих предположениях - ускорение свободного падения g одинаково во всех точках, где побывало тело (можно сказать и иначе: "Землю считать плоской!"), сопротивлением воздуха при движении принебречь. Не всегда эти предположения разумны - если бросить тело с очень большой скоростью, оно сможет улететь очень далеко от поверхности Земли, а там притяжение может серьезно ослабеть (а значит, и ускорение свободного падения нельзя будет считать неизменным - таким же, как и у поверзности). Да и сила сопротивления воздуха может играть очень важную роль (помню забавную задачу из одного сборника, там нужно было определить скорость парашютиста перед приземлением, а прыгал он с высоты, кажется, 1 км - и предлагалось сопротивлением воздуха пренебречь! Прашют предназначен как раз для всемерного увеличения сопротивления среды при движении, а если этот парашютист не раскрыл при прыжке парашют, то его следовало бы называть не парашютистом, а как-нибудь иначе...). Чаще всего мы просто вынуждены пренебрегать сопротивлением воздуха, чтобы не усложнять задачу до полной нерешаемости - но отличить случаи, в которых это предположение не слишком искажает ответ от прочих случаев следует уметь!

Для решения таких задач удобно применить математический прием - ввести вертикальную и горизонтальную оси координат и рассмотреть как бы два незвисимых простых движения вдоль этих осей. Почему так можно - насколько независимы такие два движения? Что касается вертикального движения, то это вполне разумно: бросим одновременно несколько тел с одинаковыми вертикальными и различными горизонтальными составляющими скорости - все эти тела в любой момент времени окажутся на одной и той же высоте, одновременно достигнут верхней точки полета и одновременно упадут на Землю. А вот движения по горизонтали не совсем уж независимы от вертикальной компоненты скорости - тела брошенные с разными вертикальными и одинаковыми горизонтальными составляющими скорости упадут на Земля не одновременно, а значит, пролетят различные расстояния по горизонтали. Правда, это нетрудно учесть при решении задачи, просто говорить о "независимости движений" нужно аккуратно! Получившиеся движения довольно просты - особенно вдоль горизонтальной оси, это просто раномерное движение с постоянной скоростью V_x=V_o*cosa. Движение по вертикали происходит с постоянным ускорением и там все тоже просто. Выберем начало координат в точке броска, направление вертикальной оси вверх будем считать положительным (при этом ускорение вдоль этой оси получиться "минус же"). Тогда кординаты будут изменяться со временем так:

X(t)= V_x*t=V_o*t*cosa
Y(t)= V_o*t*sina-0,5*g*t²
Эти уравнения могут оказаться полезными, например, для такой задачи: камень бросают с высоты 1 м с начальной скоростью 20 м/c под углом 45^o к поверхности. Перелетит ли он стену высоты 20 м, построенную на расстоянии 30 м от точки броска? Выбрав Х=30 м, найдем время полета до стены "по горизонтали" t=30/(20*cos45^o)=2,1 с (примерно, точно считать такое время совсем необязательно - впрчем, это будет видно дальше). Теперь посмотрим - какая координата по вертикали будет через такое время и сравним ее с величиной (20-1)=19 м: Y=20*2,1*sin45^o-0,5*10*2,1² = 29-22=7<19 м. Итак, не перелетит, причем нехватка очень большая и точный расчет не был необходим, мы даже ускорение свободного падения разумно округлили! И учет сопротивления воздуха наш результат не изменит, даже еще труднее было бы перебросить стену. А вот при высоте стены 8 м пришлось бы повторить расчет, сделать его поточнее, да и ускорение свободного пришлось бы взять поаккуратнее, а если бы получился ответ типа "перелетит с запасом 5 см", то непременно нужно было бы сказать, что учет сопротивления воздуха тут просто необходим!

Еще одно важное замечание относительно полученных уравнений: до момента броска тело не двигалось (или, по крайней мере, двигалось не так), после падения на Землю эти уравнения тоже нельзя применять. Ясно, что нужно дополнительно записать ограничения для t в этих уравнениях: 0<=t<=t_п (значек "<=" означает "больше или равно")

Для многих применений полезно исключить из этих двух уравнений время t и получить одно уравнение, которое связывает между собой вертикальные и горизонтальные координаты для каждой из точек, в которых побывает тело при полете - это и есть знаменитое "уравнение траектории". Проще выразить t из первого уравнения и подставить во второе. После понятных преобразований получим:

Y=X*tga - gX²/2V_o²*cos²a или Y=X*tga - (gX²/2V_o²)*(1 + tg²a).
Второй вариант формулы удобнее - в нее входит только одна функция угла - "тангенс альфа". Предыдущую задачу при помощи этого уравнения можно было решить совсем просто - подставить вместо Х расстояние до стены 30 м и найти величину Y, после чего опять сравнить ее с величиной 19 м (с учетом того, что начало координат смещено вверх на 1 м - высота точки броска). Впрочем, при ее первом решении мы делали то же, что и при выводе формулы траектории. Но уравнение траектории подходит и для куда более сложных расчетов. Рассмотрим пример: тело бросают из точки, которая находится на высоте Н над поверхностью Земли. Точка, в которую нужно попасть, находится на расстоянии L по горизонтали от точки броска. При какой скорости бросания это возможно? Понятно, что нужно найти минимальное значение скорости, а любое бОльшее значение условию задачи удовлетворяет. Ясно и то, что нам не задан угол бросания и его придется находить самостоятельно - это оптимальный угол, при котором окажется достаточной минимальная скорость бросания. Если бы точки старта и финиша находились на одной высоте (случай Н=0), то выгоднее всего было бы бросать под углом 45^o. А в нашем случае придется думать. Начнем, пожалуй...

Итак, запишем уравнение траектории, которая проходит через точку (-H,L):
-H = L*tga - (gL²/2V_o²)*(1 + tg²a). У нас получилось уравнение, в котором удобно рассматривать в качестве неизвестной величины значение tga (если Вы привыкли обозначать неизвестные одной буквой, можно тангенс обозначить буквой Z, потому как Х и Y уже заняты). Получится (gL²/2V_o²)*Z² - L*Z + (gL²/2V_o²) - H = 0. Для любого значения скорости можно попытаться найти угол бросания. Сколько таких углов мы получи для каждого заданного значения скорости? Если скорость мала, то корней у нашего уравнения вообще не будет, если скорость достаточно велика, то корни будут и их будет два, как у обычного квадратного уравнения. По мере уменьшения скорости бросания корни уравнения (т. е. подходящие углы) становятся все ближе друг к другу и при определенном (минимально возможном) значнии скорости корни сливаются в один - это и есть оптимальный угол. Для нахождения минимальной скорости вовсе не обязательно решать полученное квадратное уравнение - достаточно исследовать его дискриминант. Посмотрим на дискриминант этого квадратного уравнения: D= L² - 4*(gL²/2V_o²)*[(gL²/2V_o²) - H]. Приравняем его к нулю (условие на минимальную скорость бросания). Отсяда легко получить значение квадрата минимальной скорости: V_o²= g[(H² + L²)^0,5 - H]. Для Н= 0 получим известное значение V_o²= (g*L)^0,5. Кстати, для уравнения с нулевым дискриминантом и оптимальный угол бросания находится легко. И еще - если бы в условии задачи мы задали расстояние L^* между точкой броска и точкой в которую нужно попасть, а не расстояние L по горизонтали, ответ получился бы немного красивее: V_o²= g*(L^* - H).

Порешать задачи на тему